Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{4 x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{4 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Bước 1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{4 x}{3}$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.2.2

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

Bước 1.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.1.2.1.2

Chia $\sin (\frac{4 x}{3})$ cho $1$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Bước 2.3.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$\frac{4 x}{3} = 0$

Bước 2.3.4

Cho tử bằng không.

$4 x = 0$

Bước 2.3.5

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x = 0$

Bước 2.3.6

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

Bước 2.3.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1.1

Rút gọn $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Bước 2.3.7.2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Bước 2.3.7.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Bước 2.3.7.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Bước 2.3.7.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

Bước 2.3.7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Rút gọn $\frac{3}{4} (π - 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1.1

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = \frac{3}{4} π$

Bước 2.3.7.2.2.1.2

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.3.8

Tìm chu kỳ của $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.3.8.2

Thay thế $b$ với $\frac{4}{3}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

Bước 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ xấp xỉ $1.\overline{3}$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

Bước 2.3.8.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \frac{3}{4}$

Bước 2.3.8.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{4}$

Bước 2.3.8.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

Bước 2.3.8.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.8.5.4

Viết lại biểu thức.

$π \frac{3}{2}$

Bước 2.3.8.6

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Bước 2.3.8.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 2.3.9

Chu kỳ của hàm $\sin (\frac{4 x}{3})$ là $\frac{3 π}{2}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{3 π}{2}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.4

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{3 π n}{4}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{3 π n}{4}$ .

$\frac{3 π n}{4}$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π n}{4} - 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Bước 5.2.1.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Bước 5.2.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Bước 5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

Bước 5.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{3 π n - 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Bước 5.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn biểu thức $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Bước 5.2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

Bước 5.2.3.2

Chia $3 π n - 4$ cho $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Bước 5.3

Tại $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ đạo hàm là $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ .

Giảm trên $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π n}{4} + 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Bước 6.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

Bước 6.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{3 π n + 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn biểu thức $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Bước 6.2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

Bước 6.2.3.2

Chia $3 π n + 4$ cho $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Bước 6.3

Tại $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ đạo hàm là $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

Giảm trên $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Bước 8