Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ ở dạng ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $20$ .

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Bước 1.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 9 e^{- 3 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Bước 1.1.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Bước 1.1.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

Bước 1.1.3.5

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 e^{- 3 x}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 1.1.3.6

Nhân $9$ với $- 20$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 1.1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.1.5.2

Nhân $- 3$ với $- 180$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.1.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

Bước 1.1.5.4

Nhân $e^{- 3 x}$ với $1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ .

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

Bước 1.1.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Bước 1.1.6.3

Nhân $540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ và $540$ .

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

Bước 1.1.6.3.2

Kết hợp $\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ và $e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$540 e^{- 3 x} = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (540 e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Bước 2.3.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.3.3

Không có đáp án nào cho $540 e^{- 3 x} = 0$

Không có đáp án

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Không có điểm nào làm cho đạo hàm $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ bằng $0$ hoặc không xác định. Khoảng được sử dụng để kiểm tra xem $f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ tăng hay giảm là $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương. Nếu kết quả là âm, thì biểu đồ giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ . Nếu kết quả là dương, thì biểu đồ tăng trên khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{540 e^{- 3 \cdot 1}}{{(1 + 9 e^{- 3 \cdot 1})}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $e^{- 3 \cdot 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3})}^{2} e^{3}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 (\frac{1}{e^{3}}))}^{2} e^{3}}$

Bước 5.2.2.2

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Bước 5.2.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Bước 5.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3} + 9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Bước 5.2.2.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{e^{3} + 9}{e^{3}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{{(e^{3})}^{2}} \cdot e^{3}}$

Bước 5.2.2.6

Nhân các số mũ trong ${(e^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3 \cdot 2}} \cdot e^{3}}$

Bước 5.2.2.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}} \cdot e^{3}}$

Bước 5.2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Kết hợp $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}$ và $e^{3}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}}$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn biểu thức $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $e^{3}$ ra ngoài ${(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}}$

Bước 5.2.3.2.2

Đưa $e^{3}$ ra ngoài $e^{6}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

Bước 5.2.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

Bước 5.2.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3}}}$

Bước 5.2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (1) = 540 (\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}})$

Bước 5.2.5

Kết hợp $540$ và $\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ .

$f' (1) = \frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

Bước 5.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

Bước 6

Kết quả của việc thay thế $1$ thành $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ là $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ , là dương, do đó đồ thị tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Tăng trên $(- \infty, \infty)$ vì $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} > 0$

Bước 7

Tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ có nghĩa là hàm luôn tăng.

Luôn tăng

Bước 8