Giải tích Ví dụ

$y = \ln^{3} (x)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \ln^{3} (y)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln^{3} (y) = x$ .

$\ln^{3} (y) = x$

Bước 2.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\ln^{3} (y) = x$

Bước 2.2.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

Bước 2.2.2.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

Bước 2.2.2.4

Viết lại phương trình ở dạng $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ có là hàm ngược của $f (x) = \ln^{3} (x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Bước 4.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Bước 4.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

Bước 4.2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

Bước 4.3.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $\sqrt[3]{x}$ ra khỏi số mũ.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

Bước 4.3.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

Bước 4.3.5

Nhân $\sqrt[3]{x}$ với $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Bước 4.3.6

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 4.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 4.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Bước 4.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Bước 4.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Bước 4.3.6.5

Rút gọn.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ là hàm ngược của $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$