Giải tích Ví dụ

$2 \cos^{2} (x)$

Bước 1

Viết $2 \cos^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \cos^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$4 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 2.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 3.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 3.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 3.8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 3.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Bước 3.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Bước 3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Bước 3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Bước 3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) - 4 (- \sin^{2} (x))$

Bước 3.13.2

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x)$

Bước 3.13.3

Viết lại $4 \sin^{2} (x)$ ở dạng ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) + {(2 \sin (x))}^{2}$

Bước 3.13.4

Viết lại $4 \cos^{2} (x)$ ở dạng ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = - {(2 \cos (x))}^{2} + {(2 \sin (x))}^{2}$

Bước 3.13.5

Sắp xếp lại $- {(2 \cos (x))}^{2}$ và ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = {(2 \sin (x))}^{2} - {(2 \cos (x))}^{2}$

Bước 3.13.6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 \sin (x)$ và $b = 2 \cos (x)$ .

$f'' (x) = (2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - (2 \cos (x)))$

Bước 3.13.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = (2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Bước 3.13.8

Khai triển $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Bước 3.13.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Bước 3.13.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.9

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.9.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 \sin (x) (- 2 \cos (x))$ và $2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) - 2 \cdot (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 \cdot (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.9.2

Cộng $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ và $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 0 + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.9.3

Cộng $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.10.1

Nhân $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.10.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.10.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.10.1.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.10.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 4 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.10.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Bước 3.13.10.2

Nhân $2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.10.2.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) \cos (x)$

Bước 3.13.10.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 (\cos (x) \cos (x))$

Bước 3.13.10.2.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 (\cos (x) \cos (x))$

Bước 3.13.10.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 {\cos (x)}^{1 + 1}$

Bước 3.13.10.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Bước 6

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 6.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 6.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.5

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 7

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 7.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 7.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 7.2.5

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \cdot 1 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

Bước 10.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 - 4 \cdot 0$

Bước 10.1.6

Nhân $- 4$ với $0$ .

$4 + 0$

Bước 10.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 11

$x = \frac{π}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0^{2}$

Bước 12.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

Bước 12.2.3

Nhân $2$ với $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Bước 12.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$4 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$4 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 {(- 1)}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$4 \cdot 1 - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.5

Nhân $4$ với $1$ .

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 14.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

Bước 14.1.8

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 - 4 \cdot 0$

Bước 14.1.9

Nhân $- 4$ với $0$ .

$4 + 0$

Bước 14.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 15

$x = \frac{3 π}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 16.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 0^{2}$

Bước 16.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 0$

Bước 16.2.4

Nhân $2$ với $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Bước 16.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 \sin^{2} (0) - 4 \cos^{2} (0)$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \cos^{2} (0)$

Bước 18.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \cos^{2} (0)$

Bước 18.1.3

Nhân $4$ với $0$ .

$0 - 4 \cos^{2} (0)$

Bước 18.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 - 4 \cdot 1^{2}$

Bước 18.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 - 4 \cdot 1$

Bước 18.1.6

Nhân $- 4$ với $1$ .

$0 - 4$

Bước 18.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$- 4$

Bước 19

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 20

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 2 \cos^{2} (0)$

Bước 20.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{2}$

Bước 20.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (0) = 2 \cdot 1$

Bước 20.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f (0) = 2$

Bước 20.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$y = 2$

Bước 21

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = π$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 \sin^{2} (π) - 4 \cos^{2} (π)$

Bước 22

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$4 \sin^{2} (0) - 4 \cos^{2} (π)$

Bước 22.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \cos^{2} (π)$

Bước 22.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \cos^{2} (π)$

Bước 22.1.4

Nhân $4$ với $0$ .

$0 - 4 \cos^{2} (π)$

Bước 22.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$0 - 4 {(- \cos (0))}^{2}$

Bước 22.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 - 4 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Bước 22.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 4 {(- 1)}^{2}$

Bước 22.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Bước 22.1.9

Nhân $- 4$ với $1$ .

$0 - 4$

Bước 22.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$- 4$

Bước 23

$x = π$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = π$ là cực đại địa phương

Bước 24

Tìm giá trị y khi $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Thay thế biến $x$ bằng $π$ trong biểu thức.

$f (π) = 2 \cos^{2} (π)$

Bước 24.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{2}$

Bước 24.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Bước 24.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{2}$

Bước 24.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (π) = 2 \cdot 1$

Bước 24.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f (π) = 2$

Bước 24.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$y = 2$

Bước 25

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(0, 2)$ là một cực đại địa phuơng

$(π, 2)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 26