Giải tích Ví dụ

$\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Bước 1

Viết $\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Bước 2.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Bước 2.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Bước 2.1.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Bước 2.1.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Bước 2.1.1.4.4

Chia $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ cho $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Bước 2.1.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Bước 2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{- x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Bước 2.5.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 e^{- x}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 3.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 3.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 3.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 3.3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- e^{- x})$

Bước 3.3.8

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + 2 e^{- x}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Bước 5.1.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Bước 5.1.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Bước 5.1.1.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Bước 5.1.1.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Bước 5.1.1.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Bước 5.1.1.1.4.4

Chia $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ cho $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Bước 5.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Bước 5.1.1.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Bước 5.1.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{- x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 5.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 5.1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 5.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.1.5.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Bước 5.1.5.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Bước 6.2

Di chuyển $- 2 e^{- x}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng nó vào cả hai vế.

$2 e^{x} = 2 e^{- x}$

Bước 6.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2 e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Bước 6.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Viết lại $\ln (2 e^{x})$ ở dạng $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Bước 6.4.2

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (2) + x \ln (e) = \ln (2 e^{- x})$

Bước 6.4.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (2) + x \cdot 1 = \ln (2 e^{- x})$

Bước 6.4.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2 e^{- x})$

Bước 6.5

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Viết lại $\ln (2 e^{- x})$ ở dạng $\ln (2) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) + \ln (e^{- x})$

Bước 6.5.2

Khai triển $\ln (e^{- x})$ bằng cách di chuyển $- x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \ln (e)$

Bước 6.5.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \cdot 1$

Bước 6.5.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x$

Bước 6.6

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (2) - \ln (2) = - x - x$

Bước 6.7

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{2}) = - x - x$

Bước 6.8

Chia $2$ cho $2$ .

$\ln (1) = - x - x$

Bước 6.9

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$0 = - x - x$

Bước 6.10

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$0 = - 2 x$

Bước 6.11

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$- 2 x = 0$

Bước 6.12

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x = 0$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x = 0$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Bước 6.12.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Bước 6.12.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Bước 6.12.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.3.1

Chia $0$ cho $- 2$ .

$x = 0$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Bước 10.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 e^{- (0)}$

Bước 10.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 + 2 e^{0}$

Bước 10.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Bước 10.1.5

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2$

Bước 10.2

Cộng $2$ và $2$ .

$4$

Bước 11

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{4 e^{0} + 4 e^{- (0)}}{2}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4 e^{0} + 4 e^{- (0)}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{0}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 4 e^{- (0)}}{2}$

Bước 12.2.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})}{2}$

Bước 12.2.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2}$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 (1)}$

Bước 12.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 \cdot 1}$

Bước 12.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (0) = \frac{2 e^{0} + 2 e^{- (0)}}{1}$

Bước 12.2.1.4.4

Chia $2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$ cho $1$ .

$f (0) = 2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Bước 12.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Bước 12.2.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{- (0)}$

Bước 12.2.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{0}$

Bước 12.2.2.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Bước 12.2.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Bước 12.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$f (0) = 4$

Bước 12.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $4$ .

$y = 4$

Bước 13

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 4)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 14