Giải tích Ví dụ

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

Bước 1

Viết $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

Bước 2

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

Bước 2.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

Bước 2.3

Cộng $16 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $f (x, y) - x y - y + 16 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 3.2

Nhân $f$ với mỗi phần tử của ma trận.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 3.4

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 3.5

Tính $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Bước 3.5.3

Nhân $16$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ và $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Bước 3.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.1.2

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.2.3

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $f x$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.2.3.2

Nhân $\frac{1}{x} (f y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Kết hợp $f$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.2.3.2.2

Kết hợp $\frac{f}{x}$ và $y$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

Bước 4.3

Vì $16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $16$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Bước 4.4.2

Cộng $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Bước 5

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Bước 6

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $f (x, y) - x y - y + 16 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 6.1.2

Nhân $f$ với mỗi phần tử của ma trận.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 6.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 6.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 6.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 6.1.4

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Bước 6.1.5

Tính $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.5.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Bước 6.1.5.3

Nhân $16$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Bước 6.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.6.1

Cộng $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ và $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Bước 6.1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Bước 6.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

Bước 7

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Bước 7.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Bước 7.2.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Bước 7.2.3

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $f x$ .

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Bước 7.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Bước 7.2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Bước 7.2.3.2

Nhân $\frac{1}{x} (f y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Kết hợp $f$ và $\frac{1}{x}$ .

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

Bước 7.2.3.2.2

Kết hợp $\frac{f}{x}$ và $y$ .

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

Bước 7.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

Bước 7.3.2

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

Bước 8

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt mẫu số trong $\frac{d}{d x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$d x = 0$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $d x = 0$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $d x = 0$ cho $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Bước 8.2.2.1.2

Chia $d$ cho $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Chia $0$ cho $x$ .

$d = 0$

Bước 8.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$y = 0$

Bước 9

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $d$ với $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Bước 11.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 12

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 13