Giải tích Ví dụ

$y = 4 x^{3} \sqrt{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Nhân $x^{3}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{3})]$

Bước 1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3}]$

Bước 1.2.3

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}}]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 6}{2}}]$

Bước 1.2.6.2

Cộng $1$ và $6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{7}{2}}]$

Bước 1.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{7}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Bước 1.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Bước 1.8.2

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.9

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Bước 1.10

Kết hợp $4$ và $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Bước 1.11

Nhân $7$ với $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Bước 1.12

Đưa $2$ ra ngoài $28 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Bước 1.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Bước 1.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{14 x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Bước 1.13.4

Chia $14 x^{\frac{5}{2}}$ cho $1$ .

$f' (x) = 14 x^{\frac{5}{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 x^{\frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Bước 2.7

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 2.8

Kết hợp $14$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{14 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 2.9

Nhân $5$ với $14$ .

$\frac{70 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 2.10

Đưa $2$ ra ngoài $70 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Bước 2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Bước 2.11.4

Chia $35 x^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$f'' (x) = 35 x^{\frac{3}{2}}$