Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x^{2} + 3 x + 15)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3 x + 15$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

Bước 1.2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])$

Bước 1.2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])$

Bước 1.2.6

Vì $15$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $15$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + 0)$

Bước 1.2.7

Cộng $2 x + 3$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$

Bước 1.3.2

Nhân $2 x + 3$ với $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 15}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x + 3$ và $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3 x + 15$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.11

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.12

Vì $15$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $15$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.2.13

Cộng $2 x + 3$ và $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.3

Nâng $2 x + 3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.4

Nâng $2 x + 3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1})}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.2

Nhân $2$ với $15$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.3

Viết lại ${(2 x + 3)}^{2}$ ở dạng $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - ((2 x + 3) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.4

Khai triển $(2 x + 3) (2 x + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.5.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.5.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.5.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.5.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.5.1.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.5.1.5

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.5.1.6

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.5.2

Cộng $6 x$ và $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 12 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2}) - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.7.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.7.2

Nhân $12$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.1.7.3

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.2

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 6 x + 30 - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.3

Trừ $12 x$ khỏi $6 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 30 - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.2.4

Trừ $9$ khỏi $30$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 6 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{2}) - (6 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.6

Viết lại $21$ ở dạng $- 1 (- 21)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.8

Viết lại $- (2 x^{2} + 6 x - 21)$ ở dạng $- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Bước 2.7.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 6 x - 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$