Giải tích Ví dụ

$y = (7 \sqrt{x} + 4) x^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 7 \sqrt{x} + 4$ và $g (x) = x^{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 \sqrt{x} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.10

Kết hợp $7$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Bước 4.2

Cộng $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \sqrt{x} (2 x) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $2$ với $7$ .

$14 \sqrt{x} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$14 x^{1 + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$14 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.7

Cộng $2$ và $1$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.8

Nhân $2$ với $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.9

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.10

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.11

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 5.2.12

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.12.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Bước 5.2.12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Bước 5.2.12.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Bước 5.2.12.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Bước 5.2.12.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Bước 5.2.12.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.12.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Bước 5.2.12.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 5.2.13

Để viết $14 x^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 5.2.14

Kết hợp $14 x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 5.2.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 5.2.16

Nhân $2$ với $14$ .

$8 x + \frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 5.2.17

Cộng $28 x^{\frac{3}{2}}$ và $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$