Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{30} (\frac{2}{15} k + 1) \frac{2}{15}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $\frac{2}{15}$ và $k$ .

$(\frac{2 k}{15} + 1) \frac{2}{15}$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 k}{15} \cdot \frac{2}{15} + 1 (\frac{2}{15})$

Bước 1.3

Nhân $\frac{2 k}{15} \cdot \frac{2}{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{2 k}{15}$ với $\frac{2}{15}$ .

$\frac{2 k \cdot 2}{15 \cdot 15} + 1 (\frac{2}{15})$

Bước 1.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 k}{15 \cdot 15} + 1 (\frac{2}{15})$

Bước 1.3.3

Nhân $15$ với $15$ .

$\frac{4 k}{225} + 1 (\frac{2}{15})$

Bước 1.4

Nhân $\frac{2}{15}$ với $1$ .

$\frac{4 k}{225} + \frac{2}{15}$

Bước 1.5

Viết lại tổng.

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \frac{2}{15}$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \frac{2}{15} = \sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \sum_{k = 1}^{30} \frac{2}{15}$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $\frac{4}{225}$ ra ngoài tổng.

$(\frac{4}{225}) \sum_{k = 1}^{30} k$

Bước 3.2

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 3.3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(\frac{4}{225}) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Cộng $30$ và $1$ .

$\frac{4}{225} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $30$ với $31$ .

$\frac{4}{225} \cdot \frac{930}{2}$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 (2)}{225} \cdot \frac{930}{2}$

Bước 3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{225} \cdot \frac{930}{2}$

Bước 3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{225} \cdot 930$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $15$ ra ngoài $225$ .

$\frac{2}{15 (15)} \cdot 930$

Bước 3.4.3.2

Đưa $15$ ra ngoài $930$ .

$\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot (15 \cdot 62)$

Bước 3.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot (15 \cdot 62)$

Bước 3.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{15} \cdot 62$

Bước 3.4.4

Kết hợp $\frac{2}{15}$ và $62$ .

$\frac{2 \cdot 62}{15}$

Bước 3.4.5

Nhân $2$ với $62$ .

$\frac{124}{15}$

Bước 4

Tính $\sum_{k = 1}^{30} \frac{2}{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(\frac{2}{15}) (30)$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa $15$ ra ngoài $30$ .

$\frac{2}{15} (15 (2))$

Bước 4.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{15} (15 \cdot 2)$

Bước 4.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 2$

Bước 4.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4$

Bước 5

Cộng các kết quả của tổng.

$\frac{124}{15} + 4$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$\frac{124}{15} + 4 \cdot \frac{15}{15}$

Bước 6.2

Kết hợp $4$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{124}{15} + \frac{4 \cdot 15}{15}$

Bước 6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{124 + 4 \cdot 15}{15}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $4$ với $15$ .

$\frac{124 + 60}{15}$

Bước 6.4.2

Cộng $124$ và $60$ .

$\frac{184}{15}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{184}{15}$

Dạng thập phân:

$12.2\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$12 \frac{4}{15}$