Giải tích Ví dụ

$\sec (\sin^{-1} (u))$

Bước 1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\sin^{-1} (u)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . Do đó, $\sec (\sin^{-1} (u))$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Bước 2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = u$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 4.2

Nâng $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 4.3

Nâng $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Bước 4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Bước 4.6

Viết lại ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ ở dạng $(1 + u) (1 - u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ ở dạng ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Bước 4.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Bước 5

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 6

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 7

Thay các giá trị thực tế của $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ và $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Bước 8

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Bước 8.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

Bước 8.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $(1 + u) (1 - u)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ ở dạng $(1 + u) (1 - u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ ở dạng ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.1.5

Rút gọn.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.2

Khai triển $(1 + u) (1 - u)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.3.1.2

Nhân $- u$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.3.1.3

Nhân $u$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.3.1.5

Nhân $u$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1.5.1

Di chuyển $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.3.1.5.2

Nhân $u$ với $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.3.2

Cộng $- u$ và $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.3.3

Cộng $1$ và $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.4

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.3.5

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa $1 + u$ ra ngoài ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Bước 8.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Bước 8.4.3

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.5

Triệt tiêu thừa số chung của $1 - u$ và ${(1 - u)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Bước 8.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Đưa $1 - u$ ra ngoài $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Bước 8.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Bước 8.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 8.6

Cộng $0$ và $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 8.7

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 8.8

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 8.9

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 8.10

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.10.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 8.10.2

Nâng $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 8.10.3

Nâng $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Bước 8.10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Bước 8.10.5

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Bước 8.10.6

Viết lại ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ ở dạng $(1 + u) (1 - u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.10.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ ở dạng ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.10.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.10.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.10.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.10.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.10.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Bước 8.10.6.5

Rút gọn.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Bước 9

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

Bước 10

Thay các giá trị của $θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ và $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$