Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 3$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Bước 2

Cộng $3$ và $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Bước 3

Giả sử $u = 3 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u = 3 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.6

Viết lại $9 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

Bước 7

Tích phân của $\sin (t)$ đối với $t$ là $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

Bước 9

Rút gọn.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$