Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\arccos (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \arccos (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ , nên $1 d u_{2} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \arccos (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\arccos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arccos (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arccos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\arccos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.2.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1$

Bước 1.1.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2} u_{2} d u_{2}$

Bước 2

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\arccos (2 x)$ .

$- \frac{1}{4} {\arccos (2 x)}^{2} + C$