Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 4}$ ở dạng ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 4$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.8.3

Di chuyển ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.11

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.12.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.12.3

Kết hợp $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.16

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.16.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.16.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Bước 1.18

Nhân ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.19

Để viết ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.21

Nhân ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.21.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.21.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.21.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.21.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{1}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.22

Rút gọn ${(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.23

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x^{2} + 4$ và $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.3

Rút gọn.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.4.5

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Cộng $4 x$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.4.6.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.10.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.10.3

Di chuyển ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.13

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 4}$

Bước 2.14.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 4}$

Bước 2.14.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.14.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.14.5

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.2

Nhân $- 2 x^{2} - 4$ với $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 2)) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.4

Để viết $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6

Viết lại $\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.6.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.6.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 (- x^{2} - 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.6.2.1

Nhân ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.6.2.1.1

Di chuyển ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6.2.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6.2.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6.2.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.6.2.2

Rút gọn $2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 4 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.7.2

Nhân $2$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 8 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.7.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 8 - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.2.7.4

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.3.1

Viết lại $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

Bước 2.15.3.2

Nhân $\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

Bước 2.15.3.3

Nhân ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với $x^{2} + 4$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.3.3.1

Nhân ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với $x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.3.3.1.1

Nâng $x^{2} + 4$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

Bước 2.15.3.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Bước 2.15.3.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 2.15.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Bước 2.15.3.3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 4

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 5

Không có cực trị địa phương

Bước 6