Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 1.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.1.2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$0 - 2 \cos (x)$

Bước 1.1.2.3

Trừ $2 \cos (x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 2 \cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos (x) = 0$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos (x) = 0$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Chia $0$ cho $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 1.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 1.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 1.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 1.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 1.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = - 2 \cos (0)$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1$

Bước 4.2.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (0) = - 2$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 4.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (0)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 5