Giải tích Ví dụ

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Bước 1

Viết $y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + x$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.5

Nhân $1 + x^{2}$ với $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2.10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3.3.2

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3.8

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3.10

Viết lại $- (x^{2} + 2 x - 1)$ ở dạng $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.8

Cộng $2 x + 2$ và $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.5.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.5.2.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.5.2.3

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.10.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.11

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.12.1

Nhân $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ với $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Bước 2.2.12.2

Cộng $- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ và $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1.1

Khai triển $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.2.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1.2.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.2.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.2.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.2.4

Nhân $2 x$ với $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.5

Nhân $2$ với $- 4$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.1.6

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.2

Trừ $4 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.3

Trừ $8 x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.3.4

Cộng $2 x$ và $4 x$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.4.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.4.6

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.4.7

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 x$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.10

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.12

Viết lại $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ ở dạng $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.14

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.13.15

Nhân $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.2.1.2

Chia $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ cho $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Bước 3.3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Bước 3.3.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Bước 3.3.2.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Bước 3.3.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Nhân $x$ với $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Bước 3.3.2.4.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Bước 3.3.2.5

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{2} - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.5.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

Bước 3.3.2.5.2

Đưa $3 x$ ra ngoài $- 3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Bước 3.3.2.5.3

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

Bước 3.3.2.6

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.6.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $3 x (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

Bước 3.3.2.6.2

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

Bước 3.3.2.7

Cộng $x$ và $3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Bước 3.3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Bước 3.3.4

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 3.3.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 3.3.5

Đặt $x^{2} + 4 x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đặt $x^{2} + 4 x + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Bước 3.3.5.2

Giải $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.3.5.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 4$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.3.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.3.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.3.5.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Bước 3.3.5.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.4.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.3.5.2.4.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Bước 3.3.5.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Bước 3.3.5.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.5.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.5.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.3.5.2.5.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Bước 3.3.5.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Bước 3.3.5.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Bước 3.3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ đúng.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ trong $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Bước 4.1.2.1.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

Bước 4.1.2.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f (1) = \frac{2}{2}$

Bước 4.1.2.3

Chia $2$ cho $2$ .

$f (1) = 1$

Bước 4.1.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $1$ trong $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ là $(1, 1)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(1, 1)$

Bước 4.3

Thay $- 2 + \sqrt{3}$ trong $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2 + \sqrt{3}$ trong biểu thức.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.3.2.1.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Viết lại ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ ở dạng $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Bước 4.3.2.2.2

Khai triển $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Bước 4.3.2.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Bước 4.3.2.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.3.2.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.3.1.1

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.3.2.2.3.1.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.3.2.2.3.1.3

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Bước 4.3.2.2.3.1.4

Nhân $3$ với $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Bước 4.3.2.2.3.1.5

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Bước 4.3.2.2.3.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Bước 4.3.2.2.3.2

Cộng $4$ và $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Bước 4.3.2.2.3.3

Trừ $2 \sqrt{3}$ khỏi $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

Bước 4.3.2.2.4

Cộng $1$ và $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ với $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Bước 4.3.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.1

Nhân $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ với $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

Bước 4.3.2.4.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.3.2.4.3

Rút gọn.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

Bước 4.3.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8 + 4 \sqrt{3}$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

Bước 4.3.2.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Bước 4.3.2.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Bước 4.3.2.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.3.2.5

Khai triển $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.3.2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.3.2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.3.2.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.3.2.6.1.2

Viết lại $- 1 \sqrt{3}$ ở dạng $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.3.2.6.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.3.2.6.1.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Bước 4.3.2.6.1.5

Nhân $3$ với $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

Bước 4.3.2.6.1.6

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Bước 4.3.2.6.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Bước 4.3.2.6.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.3.2.6.3

Cộng $- \sqrt{3}$ và $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.3.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 2 + \sqrt{3}$ trong $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ là $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

Bước 4.5

Thay $- 2 - \sqrt{3}$ trong $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2 - \sqrt{3}$ trong biểu thức.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.5.2.1.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.1

Viết lại ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ ở dạng $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

Bước 4.5.2.2.2

Khai triển $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Bước 4.5.2.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Bước 4.5.2.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Bước 4.5.2.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.3.1.1

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Bước 4.5.2.2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Bước 4.5.2.2.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Bước 4.5.2.2.3.1.4

Nhân $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.4.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.4.4

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.5

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.3.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.3.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.5.2.2.3.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Bước 4.5.2.2.3.1.5.5

Tính số mũ.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Bước 4.5.2.2.3.2

Cộng $4$ và $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Bước 4.5.2.2.3.3

Cộng $2 \sqrt{3}$ và $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

Bước 4.5.2.2.4

Cộng $1$ và $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Bước 4.5.2.3

Nhân $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ với $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Bước 4.5.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.4.1

Nhân $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ với $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

Bước 4.5.2.4.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.5.2.4.3

Rút gọn.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

Bước 4.5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8 - 4 \sqrt{3}$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.4.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

Bước 4.5.2.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.4.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Bước 4.5.2.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Bước 4.5.2.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.5.2.5

Khai triển $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.5.2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.5.2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.5.2.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.6.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.2

Nhân $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.6.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.2.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.4

Nhân $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.6.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.4.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.4.4

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.5

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.6.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.6.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Bước 4.5.2.6.1.5.5

Tính số mũ.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Bước 4.5.2.6.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.5.2.6.3

Trừ $2 \sqrt{3}$ khỏi $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.5.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.6

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 2 - \sqrt{3}$ trong $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ là $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Bước 4.7

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3.8320508$ trong biểu thức.

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 3.8320508$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 3.8320508$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.3

Nhân $3$ với $14.68461339$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.4

Nhân $- 3$ với $- 3.8320508$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.5

Cộng $- 56.2721846$ và $44.05384017$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.6

Cộng $- 12.21834443$ và $11.49615242$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.7

Trừ $1$ khỏi $- 0.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $- 3.8320508$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $14.68461339$ và $1$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $15.68461339$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $2$ với $- 1.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

Bước 6.2.3.2

Chia $- 3.44438401$ cho $3858.526212$ .

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.00089266$ .

$- 0.00089266$

Bước 6.3

Tại $- 3.8320508$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.00089266$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$

Giảm trên $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.3

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.4

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.5

Cộng $- 8$ và $12$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.6

Cộng $4$ và $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.7

Trừ $1$ khỏi $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

Bước 7.2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

Bước 7.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $2$ với $9$ .

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

Bước 7.2.3.2

Chia $18$ cho $125$ .

$f'' (- 2) = 0.144$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.144$ .

$0.144$

Bước 7.3

Tại $- 2$ , đạo hàm bậc hai là $0.144$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ .

Tăng trên $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.3660254$ trong biểu thức.

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $0.3660254$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.2

Nâng $0.3660254$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.3

Nhân $3$ với $0.13397459$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.4

Nhân $- 3$ với $0.3660254$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.5

Cộng $0.0490381$ và $0.40192378$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.6

Trừ $1.09807621$ khỏi $0.45096189$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.7

Trừ $1$ khỏi $- 0.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nâng $0.3660254$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.2.2

Cộng $0.13397459$ và $1$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

Bước 8.2.2.3

Nâng $1.13397459$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

Bước 8.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nhân $2$ với $- 1.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

Bước 8.2.3.2

Chia $- 3.29422863$ cho $1.4581761$ .

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 2.2591432$ .

$- 2.2591432$

Bước 8.3

Tại $0.3660254$ , đạo hàm bậc hai là $- 2.2591432$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

Giảm trên $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.1$ trong biểu thức.

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nâng $1.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.1.2

Nâng $1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.1.3

Nhân $3$ với $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.1.4

Nhân $- 3$ với $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.1.5

Cộng $1.331$ và $3.63$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.1.6

Trừ $3.3$ khỏi $4.961$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.1.7

Trừ $1$ khỏi $1.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Nâng $1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.2.2

Cộng $1.21$ và $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

Bước 9.2.2.3

Nâng $2.21$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

Bước 9.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nhân $2$ với $0.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

Bước 9.2.3.2

Chia $1.322$ cho $10.793861$ .

$f'' (1.1) = 0.12247702$

Bước 9.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.12247702$ .

$0.12247702$

Bước 9.3

Tại $1.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.12247702$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 10

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ .

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

Bước 11