Giải tích Ví dụ

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Bước 1

Viết $\log_{5} (1 + x^{2})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{5} (x)$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.1.1.2

Đạo hàm của $\log_{5} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Bước 2.1.2.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Bước 2.1.2.5.2

Kết hợp $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Bước 2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Bước 2.1.3.2

Nhân $\ln (5)$ với $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Bước 2.1.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0$ .

$0$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Bước 6.2.2.2

Nhân $\ln (5)$ với $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Bước 6.2.2.3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Bước 6.2.2.4

Nhân $5$ với $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

Bước 6.2.3

Viết lại $\ln (25)$ ở dạng $\ln (5^{2})$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

Bước 6.2.4

Khai triển $\ln (5^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

Bước 6.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Bước 6.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \ln (5)$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

Bước 6.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Bước 6.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

Bước 6.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

Bước 6.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{\ln (5)}$ .

$- \frac{1}{\ln (5)}$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- \frac{1}{\ln (5)}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Bước 7.2.2.2

Nhân $\ln (5)$ với $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Bước 7.2.2.3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Bước 7.2.2.4

Nhân $5$ với $5$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

Bước 7.2.3

Viết lại $\ln (25)$ ở dạng $\ln (5^{2})$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

Bước 7.2.4

Khai triển $\ln (5^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Bước 7.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Bước 7.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

Bước 7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{\ln (5)}$

Bước 7.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $\frac{1}{\ln (5)}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, 0)$

Bước 9