Giải tích Ví dụ

$9 \cos^{4} (x)$

Bước 1

Viết $9 \cos^{4} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 9 \cos^{4} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 \cos^{4} (x)$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 9 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.1.3

Nhân $4$ với $9$ .

$f' (x) = 36 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.1.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 36 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Bước 2.1.5

Nhân $- 1$ với $36$ .

$f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Bước 3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Bước 3.3

Đặt $\cos^{3} (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đặt $\cos^{3} (x)$ bằng với $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Bước 3.3.2

Giải $\cos^{3} (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 3.3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$\cos (x) = 0$

Bước 3.3.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 3.3.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 3.3.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.6.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 3.3.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 3.3.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.3.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.3.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.3.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.3.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.4

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 3.4.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 3.4.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 3.4.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 3.4.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.4.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.4.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.4.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.4.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.6

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = 9 \cos^{4} (x)$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{π n}{2})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π n}{2} - 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Bước 6.3

Rút gọn.

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Bước 6.4

Tại $x = \frac{π n}{2} - 1$ đạo hàm là $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Giảm trên $(- \infty, \frac{π n}{2})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{π n}{2}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π n}{2} + 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Bước 7.4

Tại $x = \frac{π n}{2} + 1$ đạo hàm là $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Giảm trên $(\frac{π n}{2}, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Bước 9