Giải tích Ví dụ

$y = \sin^{3} (\tan (5 x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sin (\tan (5 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (\tan (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (\tan (5 x))$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \tan (5 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\tan (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $5 x$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\tan (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sec^{2} (u_{3})$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $5 x$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $5$ với $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

Bước 4.3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \cdot (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $5 \cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x)))$

Bước 5.2

Viết lại $\sec (5 x)$ theo sin và cosin.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \cos (\tan (5 x)))$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Bước 5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Bước 5.5

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Bước 5.6

Kết hợp $\frac{5}{\cos^{2} (5 x)}$ và $\cos (\tan (5 x))$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Bước 5.7

Đưa $\cos (5 x)$ ra ngoài $\cos^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x) \cos (5 x)}$

Bước 5.8

Tách các phân số.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)})$

Bước 5.9

Viết lại $\frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)}$ ở dạng một tích.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Bước 5.10

Viết $\cos (\tan (5 x))$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\frac{\cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Bước 5.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Chia $\cos (\tan (5 x))$ cho $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Bước 5.11.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (5 x)}$ sang $\sec (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Bước 5.12

Tách các phân số.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Bước 5.13

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (5 x)}$ sang $\sec (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{1} \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Bước 5.14

Chia $5$ cho $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Bước 5.15

Nhân $5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.15.1

Nâng $\sec (5 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \cos (\tan (5 x)))$

Bước 5.15.2

Nâng $\sec (5 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \cos (\tan (5 x)))$

Bước 5.15.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (5 x)))$

Bước 5.15.4

Cộng $1$ và $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x)))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $5$ với $3$ .

$15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các thừa số của $15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$ .

$15 \sec^{2} (5 x) \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Bước 6.3

Viết lại $\sec (5 x)$ theo sin và cosin.

$15 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Bước 6.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$15 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Bước 6.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$15 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Bước 6.6

Kết hợp $15$ và $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$\frac{15}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Bước 6.7

Kết hợp $\frac{15}{\cos^{2} (5 x)}$ và $\sin^{2} (\tan (5 x))$ .

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x))$

Bước 6.8

Kết hợp $\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$ và $\cos (\tan (5 x))$ .

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Bước 6.9

Nhân với $1$ .

$\frac{15 (\sin^{2} (\tan (5 x)) \cdot 1) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Bước 6.10

Nhân với $1$ .

$\frac{15 (\sin^{2} (\tan (5 x)) \cdot 1) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x) \cdot 1}$

Bước 6.11

Tách các phân số.

$\frac{15 \cdot (1) \cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Bước 6.12

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ sang $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{15 \cdot (1) \cos (\tan (5 x))}{1} (\sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

Bước 6.13

Nhân $15$ với $1$ .

$\frac{15 \cos (\tan (5 x))}{1} (\sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

Bước 6.14

Chia $15 \cos (\tan (5 x))$ cho $1$ .

$15 \cos (\tan (5 x)) \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$