Giải tích Ví dụ

$\ln (\sin^{2} (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cos (x) \sin (x))$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Bước 4.3

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Bước 4.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ sang $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sin (2 x)$

Bước 5.2

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (2 x)$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Bước 5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ và $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 5.6

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin (x)$ và $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 5.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 5.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 5.8

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 5.9

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Bước 5.10

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \cot (x)$