Giải tích Ví dụ

$y = \ln (| 1 + t - t^{3} |)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = | 1 + t - t^{3} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $| 1 + t - t^{3} |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $| 1 + t - t^{3} |$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = | t |$ và $g (t) = 1 + t - t^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $| u_{2} |$ đối với $u_{2}$ là $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + t - t^{3}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

Bước 3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t^{3}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}]))$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - (3 t^{2})))$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2}))$

Bước 3.7.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2})$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} ((1 - 3 t^{2}) \frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |}$ với $\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |}$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} | | 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2})$

Bước 4.1.2

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| (1 + t - t^{3}) (1 + t - t^{3}) |} (1 - 3 t^{2})$

Bước 4.1.3

Nâng $1 + t - t^{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1} (1 + t - t^{3}) |} (1 - 3 t^{2})$

Bước 4.1.4

Nâng $1 + t - t^{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1} {(1 + t - t^{3})}^{1} |} (1 - 3 t^{2})$

Bước 4.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} (1 - 3 t^{2})$

Bước 4.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ .

$(1 - 3 t^{2}) \frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |}$