Giải tích Ví dụ

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 9}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = \frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t + 9}$ ở dạng ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4

Nhân các số mũ trong ${({(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{1}}$

Bước 5

Rút gọn.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Bước 6.2

Nhân ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = t + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 11.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 12.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 12.3

Di chuyển ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ và $t$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 9]}{t + 9}$

Bước 13

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 9$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])}{t + 9}$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [9])}{t + 9}$

Bước 15

Vì $9$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $9$ đối với $t$ là $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 9}$

Bước 16

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 9}$

Bước 16.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 17

Để viết ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 18

Kết hợp ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 20

Nhân ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Di chuyển ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} {(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 20.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 20.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 20.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 20.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 21

Rút gọn ${(t + 9)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{(t + 9) \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 22

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Bước 23

Viết lại $\frac{\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$ ở dạng một tích.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) (\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 9})$

Bước 24

Nhân $\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{t + 9}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (t + 9)}$

Bước 25

Nâng $t + 9$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 ({(t + 9)}^{1} {(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 26

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Bước 27

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 28

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Bước 29

Cộng $2$ và $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 30

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 t + 2 \cdot 9 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 30.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.2.1

Nhân $2$ với $9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 t + 18 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 30.2.2

Trừ $t$ khỏi $2 t$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{t + 18}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31

Kết hợp $\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}})$ và $\frac{t + 18}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) (t + 18)}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$