Giải tích Ví dụ

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 1

Viết $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 2.1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.1.2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Bước 2.1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Bước 2.1.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Bước 2.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Bước 2.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.2.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Bước 5.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Bước 5.2.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Bước 5.2.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Bước 5.2.1.6

Nhân $2$ với $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Bước 5.2.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Bước 5.2.1.8

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $- 2$ và $0$ .

$f'' (0) = - 2 - 2$

Bước 5.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f'' (0) = - 4$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$- 4$

Bước 5.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (0)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 6