Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Bước 1.2

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Bước 1.3

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{1}{x}}$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} e^{x} x$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Bước 6

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

Bước 7

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\infty \cdot \infty$

Bước 8

Vô cùng nhân vô cùng là vô cùng.

$\infty$