Giải tích Ví dụ

$f (x) = c x^{2} - 5 x^{- 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $c x^{2} - 5 x^{- 2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $c x^{2}$ đối với $x$ là $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$c (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$

Bước 1.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $c$ .

$2 c x + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{- 2}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$2 c x - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$2 c x - 5 (- 2 x^{- 3})$

Bước 1.3.3

Nhân $- 2$ với $- 5$ .

$2 c x + 10 x^{- 3}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 c x + 10 \frac{1}{x^{3}}$

Bước 1.4.2

Kết hợp $10$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 c x + \frac{10}{x^{3}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 c x + \frac{10}{x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 c x] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 c x] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 c x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2 c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 c x$ đối với $x$ là $2 c \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 c + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{10}{x^{3}}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 c + 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 c + 10 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$2 c + 10 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 c + 10 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$2 c + 10 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 c + 10 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Bước 2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 c + 10 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Bước 2.3.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$2 c + 10 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Bước 2.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$2 c + 10 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Bước 2.3.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 c + 10 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Bước 2.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 c + 10 (- 3 x^{2 - 6})$

Bước 2.3.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$2 c + 10 (- 3 x^{- 4})$

Bước 2.3.8

Nhân $- 3$ với $10$ .

$2 c - 30 x^{- 4}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 c - 30 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Kết hợp $- 30$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$2 c + \frac{- 30}{x^{4}}$

Bước 2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 2 c - \frac{30}{x^{4}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $2 c - \frac{30}{x^{4}}$ .

$2 c - \frac{30}{x^{4}}$