Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (8 x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 8 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x^{2}$ .

$- \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \sin (8 x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.2.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$- 8 \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 8 \sin (8 x^{2}) (2 x)$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân $2$ với $- 8$ .

$- 16 \sin (8 x^{2}) x$

Bước 1.2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 16 \sin (8 x^{2}) x$ .

$f' (x) = - 16 x \sin (8 x^{2})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 16 x \sin (8 x^{2})$ đối với $x$ là $- 16 \frac{d}{d x} [x \sin (8 x^{2})]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [x \sin (8 x^{2})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (8 x^{2})$ .

$- 16 (x \frac{d}{d x} [\sin (8 x^{2})] + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 8 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 x^{2}$ .

$- 16 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$- 16 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x^{2}$ .

$- 16 (x (\cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 16 (x (\cos (8 x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 16 (x (\cos (8 x^{2}) (8 (2 x))) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $8$ .

$- 16 (x (\cos (8 x^{2}) (16 x)) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 16 (x^{1} x (\cos (8 x^{2}) \cdot (16)) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 16 (x^{1} x^{1} (\cos (8 x^{2}) \cdot (16)) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 16 (x^{1 + 1} (\cos (8 x^{2}) \cdot (16)) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$- 16 (x^{2} (\cos (8 x^{2}) \cdot (16)) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8.2

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $\cos (8 x^{2})$ .

$- 16 (x^{2} (16 \cdot \cos (8 x^{2})) + \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 16 (x^{2} (16 \cos (8 x^{2})) + \sin (8 x^{2}) \cdot 1)$

Bước 2.10

Nhân $\sin (8 x^{2})$ với $1$ .

$- 16 (x^{2} (16 \cos (8 x^{2})) + \sin (8 x^{2}))$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 16 (x^{2} (16 \cos (8 x^{2}))) - 16 \sin (8 x^{2})$

Bước 2.11.2

Nhân $16$ với $- 16$ .

$f'' (x) = - 256 x^{2} \cos (8 x^{2}) - 16 \sin (8 x^{2})$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 256 x^{2} \cos (8 x^{2}) - 16 \sin (8 x^{2})$ .

$- 256 x^{2} \cos (8 x^{2}) - 16 \sin (8 x^{2})$