Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\frac{1}{4} x)$ ; $(4, \frac{π}{4})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = \frac{π}{4}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{1}{4} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{4} x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{4} x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{4} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

Bước 1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Bước 1.2.3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \cdot 1$

Bước 1.2.6

Nhân $\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$ với $1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})}$

Bước 1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Bước 1.3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Bước 1.3.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}}$

Bước 1.3.3.3

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}}$

Bước 1.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}}$

Bước 1.3.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}}$

Bước 1.3.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}}$

Bước 1.3.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

Bước 1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4}$

Bước 1.3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 1.3.5.2

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}}$

Bước 1.3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4 \cdot 4}{4}}$

Bước 1.3.5.4

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 16}{4}}$

Bước 1.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \frac{4}{x^{2} + 16}$

Bước 1.3.7

Nhân $\frac{4}{x^{2} + 16}$ với $1$ .

$\frac{4}{x^{2} + 16}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 16}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{16 + 16}$

Bước 1.5.1.2

Cộng $16$ và $16$ .

$\frac{4}{32}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (1)}{32}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $32$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}$

Bước 1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}$

Bước 1.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{8}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{8}$ và một điểm đã cho $(4, \frac{π}{4})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $x$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Bước 2.3.3.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{8} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Bước 2.3.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x}{8} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 2 + π}{4}$

Bước 2.3.3.4

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

Bước 2.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $π$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

Bước 2.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

Bước 2.3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{x}{8} - \frac{2 - π}{4}$

Bước 2.3.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{8} x - \frac{2 - π}{4}$

Bước 3