Giải tích Ví dụ

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{3 π}{4}$ và $y = - 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm tại $x = \frac{3 π}{4}$ .

$\sec^{2} (\frac{3 π}{4})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì secant âm trong góc phần tư thứ hai.

${(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2}$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

Bước 1.3.3

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2}$

Bước 1.3.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Bước 1.3.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Bước 1.3.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Bước 1.3.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Bước 1.3.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Bước 1.3.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Bước 1.3.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Bước 1.3.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Bước 1.3.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Bước 1.3.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Bước 1.3.4.6.5

Tính số mũ.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 1.3.5.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

${(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 1.3.6.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 1.3.6.3

Nhân ${\sqrt{2}}^{2}$ với $1$ .

${\sqrt{2}}^{2}$

Bước 1.3.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 1.3.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 1.3.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2^{\frac{2}{2}}$

Bước 1.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2^{\frac{2}{2}}$

Bước 1.3.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$2^{1}$

Bước 1.3.7.5

Tính số mũ.

$2$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $2$ và một điểm đã cho $(\frac{3 π}{4}, - 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 2 \cdot (x - (\frac{3 π}{4}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 1 = 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y + 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + 1 = 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + 1 = 2 x + 2 (- \frac{3 π}{4})$

Bước 2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3 π}{4}$ vào tử số.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{4}$

Bước 2.3.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{2 (2)}$

Bước 2.3.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y + 1 = 2 x + \frac{- 3 π}{2}$

Bước 2.3.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + 1 = 2 x - \frac{3 π}{2}$

Bước 2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} - 1$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 2 x + \frac{- 3 π - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = 2 x + \frac{- 3 π - 2}{2}$

Bước 2.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 π$ .

$y = 2 x + \frac{- (3 π) - 2}{2}$

Bước 2.3.3.6

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (3 π) - 1 (2)}{2}$

Bước 2.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 π) - 1 (2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (3 π + 2)}{2}$

Bước 2.3.3.8

Viết lại $- (3 π + 2)$ ở dạng $- 1 (3 π + 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- 1 (3 π + 2)}{2}$

Bước 2.3.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = 2 x - \frac{3 π + 2}{2}$

Bước 3