Giải tích Ví dụ

$| 2 x - 1 |$

Bước 1

Viết $| 2 x - 1 |$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = | 2 x - 1 |$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int | 2 x - 1 | d x$

Bước 4

Đặt đối số trong giá trị tuyệt đối bằng $0$ để tìm các giá trị tiềm năng mà tại đó có thể tách đáp án.

$2 x - 1 = 0$

Bước 5

Giải phương trình để tìm $x$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 6

Tạo các khoảng xung quanh các đáp án để tìm nơi $2 x - 1$ dương và âm.

$(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \infty)$

Bước 7

Thay một giá trị từ mỗi khoảng vào $2 x - 1$ để tìm nơi biểu thức dương hoặc âm.

$\begin{array}{c} Khoảng & Dấu trên khoảng \\ (- \infty, \frac{1}{2}) & - \\ (\frac{1}{2}, \infty) & + \end{array}$

Bước 8

Tích phân đối số của giá trị tuyệt đối.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lập tích phân với đối số của giá trị tuyệt đối.

$\int 2 x - 1 d x$

Bước 8.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x$

Bước 8.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x d x + \int - 1 d x$

Bước 8.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Bước 8.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Bước 8.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Bước 8.7

Rút gọn.

$x^{2} - x + C$

Bước 9

Trên các khoảng trong đó đối số âm, nhân đáp án của tích phân với $- 1$ .

${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = | 2 x - 1 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$