Giải tích Ví dụ

$\tan^{3} (θ)$

Bước 1

Viết $\tan^{3} (θ)$ ở dạng một hàm số.

$f (θ) = \tan^{3} (θ)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (θ)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (θ) = \int \tan^{3} (θ) d θ$

Bước 4

Đưa $\tan^{2} (θ)$ ra ngoài.

$\int \tan^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (θ)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (θ)) \tan (θ) d θ$

Bước 6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int - 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Bước 9

Tích phân của $\tan (θ)$ đối với $θ$ là $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Bước 10

Giả sử $u = \sec (θ)$ . Sau đó $d u = \sec (θ) \tan (θ) d θ$ , nên $\frac{1}{\sec (θ) \tan (θ)} d u = d θ$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = \sec (θ)$ . Tìm $\frac{d u}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $\sec (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 10.1.2

Đạo hàm của $\sec (θ)$ đối với $θ$ là $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ)$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int u d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn.

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (θ)$ .

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (θ) = \tan^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$