Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Viết $\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 4.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 4.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 5.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 5.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 5.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 5.1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 5.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 5.1.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 5.1.10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$- 2 e^{u} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$