Giải tích Ví dụ

$\frac{6 x}{{(5 + 3 x^{2})}^{4}}$

Bước 1

Viết $\frac{6 x}{{(5 + 3 x^{2})}^{4}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{6 x}{{(5 + 3 x^{2})}^{4}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{6 x}{{(5 + 3 x^{2})}^{4}} d x$

Bước 4

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{x}{{(5 + 3 x^{2})}^{4}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 5 + 3 x^{2}$ . Sau đó $d u = 6 x d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 5 + 3 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $5 + 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 3 x^{2}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + 3 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 5.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 3 (2 x)$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$0 + 6 x$

Bước 5.1.4

Cộng $0$ và $6 x$ .

$6 x$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{u^{4}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u$

Bước 6.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$6 \int \frac{1}{6 u^{4}} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $6$ .

$\frac{6}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 8.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 8.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 8.1.3

Nhân $\int \frac{1}{u^{4}} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 8.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Di chuyển $u^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Bước 8.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Bước 8.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 4}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ ở dạng $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Bước 10.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 + 3 x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(5 + 3 x^{2})}^{3}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{6 x}{{(5 + 3 x^{2})}^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3 {(5 + 3 x^{2})}^{3}} + C$