Giải tích Ví dụ

$3 x e^{- x^{2}}$

Bước 1

Viết $3 x e^{- x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 3 x e^{- x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 3 x e^{- x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x e^{- x^{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 5.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 5.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Bước 5.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Bước 5.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$3 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Bước 8.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \frac{u_{2}}{2} + C$

Bước 8.2.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{u_{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 u_{2}}{2} + C$

Bước 8.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 u_{2}}{2} + C$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{3 e^{- x^{2}}}{2} + C$

Bước 8.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x e^{- x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$