Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4.3

Nhân $4$ với $1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 + 0$

Bước 1.1.5.2

Cộng $x^{2} - 4 x + 4$ và $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 4$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Bước 2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Bước 2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 2.2.3

Viết lại đa thức này.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Bước 2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 2.3

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 2.4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Bước 4.1.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$\frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 4 (2) - 1$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $- 2$ với $4$ .

$\frac{8}{3} - 8 + 4 (2) - 1$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8}{3} - 8 + 8 - 1$

Bước 4.1.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 8 - 1$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $\frac{- 8}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8 - 1$

Bước 4.1.2.2.3

Nhân $\frac{- 8}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 8 - 1$

Bước 4.1.2.2.4

Viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} - 1$

Bước 4.1.2.2.5

Nhân $\frac{8}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Bước 4.1.2.2.6

Nhân $\frac{8}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - 1$

Bước 4.1.2.2.7

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1}$

Bước 4.1.2.2.8

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 4.1.2.2.9

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Nhân $- 8$ với $3$ .

$\frac{8 - 24 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $8$ với $3$ .

$\frac{8 - 24 + 24 - 1 \cdot 3}{3}$

Bước 4.1.2.4.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{8 - 24 + 24 - 3}{3}$

Bước 4.1.2.5

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Trừ $24$ khỏi $8$ .

$\frac{- 16 + 24 - 3}{3}$

Bước 4.1.2.5.2

Cộng $- 16$ và $24$ .

$\frac{8 - 3}{3}$

Bước 4.1.2.5.3

Trừ $3$ khỏi $8$ .

$\frac{5}{3}$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(2, \frac{5}{3})$

Bước 5