Giải tích Ví dụ

$f (x) = | 3 x - 4 |$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = 3 x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Bước 1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 4$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.1.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.1.2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.1.2.5

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + 0)$

Bước 1.1.2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \cdot 3$

Bước 1.1.2.6.2

Kết hợp $\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |}$ và $3$ .

$\frac{(3 x - 4) \cdot 3}{| 3 x - 4 |}$

Bước 1.1.2.6.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 x + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Bước 1.1.3.2.2

Nhân $3$ với $- 4$ .

$\frac{9 x - 12}{| 3 x - 4 |}$

Bước 1.1.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $9 x - 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 x$ .

$\frac{3 (3 x) - 12}{| 3 x - 4 |}$

Bước 1.1.3.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 12$ .

$\frac{3 (3 x) + 3 (- 4)}{| 3 x - 4 |}$

Bước 1.1.3.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (3 x) + 3 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$3 (3 x - 4) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (3 x - 4) = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (3 x - 4) = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 2.3.1.2.1.2

Chia $3 x - 4$ cho $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{3}$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$3 x - 4 = 0$

Bước 2.3.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 4$

Bước 2.3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 4$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 4$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Bước 2.3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$| 3 x - 4 | = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$3 x - 4 = \pm 0$

Bước 3.2.2

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Bước 3.2.3

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 4$

Bước 3.2.4

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 4$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 4$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Bước 3.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Bước 3.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Bước 4

Tính $| 3 x - 4 |$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = \frac{4}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $\frac{4}{3}$ bằng $x$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Bước 4.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$| 4 - 4 |$

Bước 4.1.2.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$| 0 |$

Bước 4.1.2.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$0$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{4}{3}, 0)$

Bước 5