Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

Bước 1.2

Giải $8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

Bước 1.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

Bước 1.2.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- 8)$ không xác định.

Không xác định

Bước 1.2.4

Không có đáp án nào cho $4 e^{0.5 x} = - 8$

Không có đáp án

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

Bước 3.2

Trừ $0$ khỏi $8 + 4 e^{0.5 x}$ .

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Bước 3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Bước 3.5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

Bước 3.6

Giả sử $u = 0.5 x$ . Sau đó $d u = 0.5 d x$ , nên $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Hãy đặt $u = 0.5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Tính đạo hàm $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Bước 3.6.1.2

Vì $0.5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $0.5 x$ đối với $x$ là $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Bước 3.6.1.4

Nhân $0.5$ với $1$ .

$0.5$

Bước 3.6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 0.5 x$ .

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

Bước 3.6.3

Nhân $0.5$ với $- 3$ .

$u_{lower} = - 1.5$

Bước 3.6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 0.5 x$ .

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

Bước 3.6.5

Nhân $0.5$ với $3$ .

$u_{upper} = 1.5$

Bước 3.6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

Bước 3.6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

Bước 3.7

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{0.5}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

Bước 3.8

Vì $\frac{1}{0.5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.5}$ ra khỏi tích phân.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{0.5}$ và $4$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

Bước 3.10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Bước 3.11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Tính $8 x$ tại $3$ và tại $- 3$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Bước 3.11.2

Tính $e^{u}$ tại $1.5$ và tại $- 1.5$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Bước 3.11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1

Nhân $8$ với $3$ .

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Bước 3.11.3.2

Nhân $- 8$ với $- 3$ .

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Bước 3.11.3.3

Cộng $24$ và $24$ .

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Bước 3.12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Chia $4$ cho $0.5$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Bước 3.12.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

Bước 3.12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

Bước 3.12.4

Nhân $8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

Bước 3.12.4.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

Bước 3.12.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

Bước 4