Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{3 - e^{2 y}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$ .

$\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{3 - e^{2 y}}}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 - e^{2 y}}$ ở dạng ${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(3 - e^{2 y})}^{1} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$3 - e^{2 y} = x^{2}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ cho $- 1$ .

$\frac{- e^{2 y}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{e^{2 y}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 3.4.2.2.2

Chia $e^{2 y}$ cho $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 3.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$e^{2 y} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 3.4.2.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 3.4.2.3.1.3

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + 3$

Bước 3.4.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- x^{2} + 3)$

Bước 3.4.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Khai triển $\ln (e^{2 y})$ bằng cách di chuyển $2 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} + 3)$

Bước 3.4.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} + 3)$

Bước 3.4.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$

Bước 3.4.5

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Bước 3.4.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Bước 3.4.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \frac{\ln (- {(\sqrt{3 - e^{2 x}})}^{2} + 3)}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Viết lại ${\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2}$ ở dạng $3 - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 - e^{2 x}}$ ở dạng ${(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {({(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.1.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 1 \cdot 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.4

Nhân $- - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + 1 e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4.4.2

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 3 + e^{2 x} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(0 + e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5.1.2

Cộng $0$ và $e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Bước 5.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Bước 5.2.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Bước 5.2.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.6

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \ln (e)$

Bước 5.2.7

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \cdot 1$

Bước 5.2.8

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{\ln (- x^{2} + 3)}}$

Bước 5.3.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - (- x^{2} + 3)}$

Bước 5.3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 1 \cdot 3}$

Bước 5.3.6

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 3}$

Bước 5.3.7

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Bước 5.3.8

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Bước 5.3.9

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$