Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[1, 4]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{x + 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x + 2 = 0$

Bước 2.1.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 2.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 2}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 2}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[1, 4]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.2

Nhân $x + 2$ với $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.6.4

Cộng $0$ và $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 4

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $(1, 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $(1, 4)$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 4.1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Đặt $x + 2$ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 4.1.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 4.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 2}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 2}$

Bước 4.2

$f' (x)$ liên tục trên $(1, 4)$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Hàm số khả vi trên $(1, 4)$ vì đạo hàm liên tục trên $(1, 4)$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

$f (x)$ thỏa hai điều kiện của định lý giá trị trung bình. Nó liên tục trên $[1, 4]$ và khả vi trên $(1, 4)$ .

$f (x)$ liên tục trên $[1, 4]$ và khả vi trên $(1, 4)$ .

Bước 7

Tính $f (a)$ từ khoảng $[1, 4]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ và $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

Bước 7.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 8

Tính $f (b)$ từ khoảng $[1, 4]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $(4) + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

Bước 8.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

Bước 8.2.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

Bước 8.2.1.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Bước 8.2.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Bước 8.2.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

Bước 8.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 9

Giải $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ để tìm $x$ . $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $- 1$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

Bước 9.1.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Bước 9.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

Bước 9.1.5

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

Bước 9.1.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 9.1.7

Nhân $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.7.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

Bước 9.1.7.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

Bước 9.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

${(x + 2)}^{2}, 9$

Bước 9.2.2

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 9.2.3

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 9.2.4

$9$ có các thừa số là $3$ và $3$ .

$3 \cdot 3$

Bước 9.2.5

Nhân $3$ với $3$ .

$9$

Bước 9.2.6

Các thừa số cho $x + 2$ là $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , chính là $x + 2$ nhân với chính nó $2$ lần.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ xảy ra $2$ lần.

Bước 9.2.7

BCNN của ${(x + 2)}^{2}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

${(x + 2)}^{2}$

Bước 9.2.8

Bội số chung nhỏ nhất $LCM$ của một vài số là số nhỏ nhất mà các số là các thừa số của nó.

$9 {(x + 2)}^{2}$

Bước 9.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ với $9 {(x + 2)}^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ với $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Bước 9.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Bước 9.3.2.2

Nhân $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Kết hợp $9$ và $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Bước 9.3.2.2.2

Nhân $9$ với $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Bước 9.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Bước 9.3.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Bước 9.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

Bước 9.3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Bước 9.3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

Bước 9.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(x + 2)}^{2} = 18$ .

${(x + 2)}^{2} = 18$

Bước 9.4.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

Bước 9.4.3

Rút gọn $\pm \sqrt{18}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.1

Viết lại $18$ ở dạng $3^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $18$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Bước 9.4.3.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Bước 9.4.3.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

Bước 9.4.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

Bước 9.4.4.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

Bước 9.4.4.3

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

Bước 9.4.4.4

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

Bước 9.4.4.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

Bước 10

Tìm được một đường tiếp tuyến tại $x = 3 \sqrt{2} - 2$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 1$ và $b = 4$ .

Có một đường tiếp tuyến tại $x = 3 \sqrt{2} - 2$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 1$ và $b = 4$

Bước 11

Tìm được một đường tiếp tuyến tại $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 1$ và $b = 4$ .

Có một đường tiếp tuyến tại $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 1$ và $b = 4$

Bước 12