Giải tích Ví dụ

$y = \ln (9 + \ln (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 9 + \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $9 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 + \ln (x)$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 1.2.2

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 1.4

Nhân $\frac{1}{9 + \ln (x)}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

Bước 1.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (x) + 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

Bước 1.5.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $9 x$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

Bước 1.5.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (\ln (x)) + x \cdot 9$ .

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ ở dạng ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x (\ln (x) + 9)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x (\ln (x) + 9)$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x) + 9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (x) + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Cộng $\frac{1}{x}$ và $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

Bước 2.6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Nhân $\ln (x) + 9$ với $1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

Bước 2.6.4.2

Cộng $1$ và $9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

Bước 2.7.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $x (\ln (x) + 9)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

Bước 2.7.3

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ .

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Bước 2.7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Bước 2.7.5

Nhân $- 1$ với $10$ .

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Bước 2.7.6

Nhân $- 10 - \ln (x)$ với $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Bước 2.7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 10 - \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.7.1

Viết lại $- 10$ ở dạng $- 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Bước 2.7.7.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \ln (x)$ .

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Bước 2.7.7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (10) - (\ln (x))$ .

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Bước 2.7.7.4

Viết lại $- 1 (10 + \ln (x))$ ở dạng $- (10 + \ln (x))$ .

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Bước 2.7.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$