Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.3.5

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.4.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 (- \sin (x))$

Bước 1.4.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \sin (x)$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Bước 1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Trừ $2 x \cos (x)$ khỏi $\cos (x) (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Bước 1.5.2.1.2

Trừ $2 x \cos (x)$ khỏi $2 x \cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 0 - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Bước 1.5.2.2

Cộng $x^{2} (- \sin (x))$ và $0$ .

$x^{2} (- \sin (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Bước 1.5.2.3

Cộng $- 2 \sin (x)$ và $2 \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 0$

Bước 1.5.2.4

Cộng $x^{2} (- \sin (x))$ và $0$ .

$x^{2} (- \sin (x))$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các thừa số của $x^{2} (- \sin (x))$ .

$f' (x) = - x^{2} \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2} \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Bước 2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

Bước 2.5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)$