Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

Bước 2.2.2

Kết hợp.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $7^{n + 1}$ và $7^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $7^{n}$ ra ngoài $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Đưa $7^{n}$ ra ngoài $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Bước 2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4^{n + 3}$ và $4^{n + 1 + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $4^{n + 1 + 3}$ ra ngoài $7 \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

Bước 2.2.4.2.4

Chia $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ cho $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Cộng $1$ và $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

Bước 2.2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

Bước 2.2.5.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

Bước 2.2.6

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $n + 3 - n - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

Bước 2.2.6.2

Cộng $0$ và $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

Bước 2.2.7

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

Bước 2.2.8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

Bước 2.2.9

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

Bước 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.