Giải tích Ví dụ

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $- 18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ đối với $x$ là $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.1.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.3.3

Nhân ${(x^{2} - 9)}^{2}$ với $1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2

Đưa $x^{2} - 9$ ra ngoài ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1

Đưa $x^{2} - 9$ ra ngoài ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.2

Đưa $x^{2} - 9$ ra ngoài $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.3

Đưa $x^{2} - 9$ ra ngoài $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Bước 1.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Đưa $x^{2} - 9$ ra ngoài ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.9

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.10.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.14

Cộng $1$ và $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.15

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$- 18 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.16

Kết hợp $- 18$ và $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.18.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.18.2.1

Nhân $- 3$ với $18$ .

$- \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.1.18.2.2

Nhân $18$ với $- 9$ .

$f' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$- 54 x^{2} - 162 = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $162$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 54 x^{2} = 162$

Bước 2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 54 x^{2} = 162$ cho $- 54$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 54 x^{2} = 162$ cho $- 54$ .

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 54$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Bước 2.3.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{162}{- 54}$

Bước 2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Chia $162$ cho $- 54$ .

$x^{2} = - 3$

Bước 2.3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Bước 2.3.4.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Bước 2.3.4.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Bước 2.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i \sqrt{3}$

Bước 2.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i \sqrt{3}$

Bước 2.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{2} - 9)}^{3} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{3} = 0$

Bước 3.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{3} = 0$

Bước 3.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Bước 3.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Bước 3.2.3

Đặt ${(x + 3)}^{3}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đặt ${(x + 3)}^{3}$ bằng với $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Bước 3.2.3.2

Giải ${(x + 3)}^{3} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đặt $x + 3$ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 3.2.3.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 3.2.4

Đặt ${(x - 3)}^{3}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đặt ${(x - 3)}^{3}$ bằng với $0$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Bước 3.2.4.2

Giải ${(x - 3)}^{3} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 3.2.4.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 3.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ đúng.

$x = - 3, 3$

Bước 3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Bước 4

Tính $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- 3$ bằng $x$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0^{2}}$

Bước 4.1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0}$

Bước 4.1.2.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$- \frac{18 (3)}{{({(3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{18 (3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$- \frac{18 (3)}{0^{2}}$

Bước 4.2.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{18 (3)}{0}$

Bước 4.2.2.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 5

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào