Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Bước 1

Viết $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.1.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.1.2.4

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.1.2.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 2.2.2.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 2.2.2.6

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 2.2.2.7

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Bước 2.2.2.8

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Bước 3.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{2}, 1$

Bước 3.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2}$

Bước 3.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = - x^{2}$

Bước 3.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Bước 3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Bước 3.5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 3.5.4

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i$

Bước 3.5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i$

Bước 3.5.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i$

Bước 3.5.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i, - i$

Bước 4

Không giá trị nào tìm được có thể làm cho đạo hàm thứ hai bằng $0$ .

Không có điểm uốn