Giải tích Ví dụ

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Bước 1

Viết $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin^{3} (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.2.4

Nhân $3$ với $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \sin (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ và $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin^{2} (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.6

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $\sin (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.6.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.6.2

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.6.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.7

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.8

Viết lại $- 1 \sin^{3} (x)$ ở dạng $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \cos (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.2.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Bước 2.2.3.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Bước 2.2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Bước 2.2.4.2.2

Nhân $2$ với $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Bước 2.2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Bước 3.2

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Bước 3.2.2

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Bước 3.2.3

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 3.2.4

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 3.2.5

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 3.4

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 3.4.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 3.4.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 3.4.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 3.4.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.4.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.4.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.4.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.4.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.5

Đặt $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ bằng với $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 3.5.2

Giải $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Thay thế $4 \cos^{2} (x)$ bằng $4 (1 - \sin^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 3.5.2.2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 3.5.2.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 3.5.2.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Bước 3.5.2.3.2

Trừ $2 \sin^{2} (x)$ khỏi $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Bước 3.5.2.4

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Bước 3.5.2.5

Chia mỗi số hạng trong $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ cho $- 6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ cho $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Bước 3.5.2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Bước 3.5.2.5.2.1.2

Chia $\sin^{2} (x)$ cho $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Bước 3.5.2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $- 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.3.1.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Bước 3.5.2.5.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.3.1.2.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Bước 3.5.2.5.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Bước 3.5.2.5.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Bước 3.5.2.6

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 3.5.2.7

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.7.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 3.5.2.7.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 3.5.2.7.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 3.5.2.7.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.7.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.5.2.7.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 3.5.2.7.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 3.5.2.7.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 3.5.2.7.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 3.5.2.7.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.7.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.5.2.7.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.5.2.7.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.5.2.7.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.7.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.5.2.7.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 3.5.2.7.4.6.5

Tính số mũ.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.5.2.8

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.8.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.5.2.8.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.5.2.8.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.5.2.9

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.5.2.10

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.10.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 3.5.2.10.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.10.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 3.5.2.10.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{4}$

Bước 3.5.2.10.4

Rút gọn $π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.10.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 3.5.2.10.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.10.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 3.5.2.10.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 3.5.2.10.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.10.4.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 3.5.2.10.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 3.5.2.10.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.10.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.5.2.10.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.5.2.10.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.5.2.10.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.5.2.10.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.5.2.11

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 3.5.2.11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 3.5.2.11.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Bước 3.5.2.11.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Bước 3.5.2.11.4.2

Góc tìm được $\frac{5 π}{4}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 3.5.2.11.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.5.2.11.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.5.2.11.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.5.2.11.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.5.2.11.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Bước 3.5.2.11.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 3.5.2.11.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 3.5.2.11.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 3.5.2.11.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.6.4.1

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Bước 3.5.2.11.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Bước 3.5.2.11.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 3.5.2.11.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.5.2.12

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.5.2.13

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.7

Hợp nhất $2 π n$ và $π + 2 π n$ để $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm điểm bằng cách thay thế trong $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ là $(,)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(,)$

Bước 4.2

Thay $\frac{π}{4}$ trong $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.3.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.3.3

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.3.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.3.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Bước 4.2.2.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

Bước 4.2.2.1.8

Kết hợp $3$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Bước 4.2.2.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Bước 4.2.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Bước 4.2.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 4.2.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Bước 4.2.2.2.3.2.4

Chia $2 \sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Bước 4.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$2 + 2 \sqrt{2}$

Bước 4.3

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{π}{4}$ trong $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ là $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Bước 4.4

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty,)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Bước 6.3

Tại $- 0.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.88059055$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty,)$

Giảm trên $(- \infty,)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(, \frac{π}{4})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.39269908$ trong biểu thức.

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Bước 7.3

Tại $0.39269908$ , đạo hàm bậc hai là $2.43538245$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(, \frac{π}{4})$ .

Tăng trên $(, \frac{π}{4})$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{π}{4}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.88539816$ trong biểu thức.

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Bước 8.2

Câu trả lời cuối cùng là $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Bước 8.3

Tại $0.88539816$ , đạo hàm bậc hai là $- 1.38422929$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(\frac{π}{4}, \infty)$

Giảm trên $(\frac{π}{4}, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 9

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Bước 10