Giải tích Ví dụ

$9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$

Bước 1

Viết $9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Bước 2.1.2.5

Nhân $- 2$ với $9$ .

$- 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 18 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $- 18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 18 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 18 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 18 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 18 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 18 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- 18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 18 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.2.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 18 (- \sin (x))$

Bước 2.2.3.3

Nhân $- 1$ với $- 18$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 18 \sin (x)$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 18 \cos^{2} (x) - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin (x)$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 18$ .

$f'' (x) = - 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$ .

$- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Bước 3.2

Thay thế $- 18 \cos^{2} (x)$ bằng $- 18 (1 - \sin^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 18 (1 - \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 18 \cdot 1 - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Bước 3.3.2

Nhân $- 18$ với $1$ .

$- 18 - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $- 18$ .

$- 18 + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Bước 3.4

Cộng $18 \sin^{2} (x)$ và $18 \sin^{2} (x)$ .

$- 18 + 36 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Bước 3.5

Sắp xếp lại đa thức.

$36 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) - 18 = 0$

Bước 3.6

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

$36 {(u)}^{2} + 18 (u) - 18 = 0$

Bước 3.7

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đưa $18$ ra ngoài $36 u^{2} + 18 u - 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Đưa $18$ ra ngoài $36 u^{2}$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u - 18 = 0$

Bước 3.7.1.2

Đưa $18$ ra ngoài $18 u$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u - 18 = 0$

Bước 3.7.1.3

Đưa $18$ ra ngoài $- 18$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u + 18 (- 1) = 0$

Bước 3.7.1.4

Đưa $18$ ra ngoài $18 (2 u^{2}) + 18 u$ .

$18 (2 u^{2} + u) + 18 (- 1) = 0$

Bước 3.7.1.5

Đưa $18$ ra ngoài $18 (2 u^{2} + u) + 18 (- 1)$ .

$18 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Bước 3.7.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1.1

Nhân với $1$ .

$18 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Bước 3.7.2.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$18 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Bước 3.7.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$18 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Bước 3.7.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$18 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Bước 3.7.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$18 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Bước 3.7.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$18 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Bước 3.7.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$18 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Bước 3.8

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 3.9

Đặt $2 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Đặt $2 u - 1$ bằng với $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Bước 3.9.2

Giải $2 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 u = 1$

Bước 3.9.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 3.9.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 3.9.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Bước 3.10

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 3.10.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 3.11

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $18 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 3.12

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 3.13

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Bước 3.14

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 3.14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 3.14.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{6}$

Bước 3.14.4

Rút gọn $π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 3.14.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 3.14.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 3.14.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.4.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 3.14.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 3.14.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.14.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.15

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 3.15.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 3.15.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 3.15.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 3.15.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 3.15.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.15.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.15.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.15.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.15.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 3.15.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.15.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.15.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 3.15.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.6.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 3.15.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 3.15.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 3.15.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.16

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.17

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\frac{π}{6}$ trong $f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.3.5

Tính số mũ.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{4}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $9 (\frac{3}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.5.1

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \cdot 3}{4} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.5.2

Nhân $9$ với $3$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{1}{2})$

Bước 4.1.2.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{1}{2})$

Bước 4.1.2.1.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{1}{2}))$

Bước 4.1.2.1.7.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 9$

Bước 4.1.2.2

Để viết $- 9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp $- 9$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 - 9 \cdot 4}{4}$

Bước 4.1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Nhân $- 9$ với $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 - 36}{4}$

Bước 4.1.2.5.2

Trừ $36$ khỏi $27$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 9}{4}$

Bước 4.1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{9}{4}$

Bước 4.1.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{π}{6}$ trong $f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ là $(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{π}{6})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.42359877$ trong biểu thức.

$f'' (0.42359877) = - 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$ .

$- 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$

Bước 6.3

Tại $0.42359877$ , đạo hàm bậc hai là $- 4.51875903$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, \frac{π}{6})$

Giảm trên $(- \infty, \frac{π}{6})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{π}{6}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.62359877$ trong biểu thức.

$f'' (0.62359877) = - 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$ .

$- 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$

Bước 7.3

Tại $0.62359877$ , đạo hàm bậc hai là $4.7876356$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{π}{6}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$

Bước 9