Giải tích Ví dụ

$20 e^{x} - e^{2 x}$

Bước 1

Viết $20 e^{x} - e^{2 x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $20 e^{x} - e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [20 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $20 e^{x}$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$20 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{2 x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$20 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$20 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$20 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.1.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Bước 2.1.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Bước 2.1.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Bước 2.1.3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = 20 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $20 e^{x} - 2 e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [20 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $20 e^{x}$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$20 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 e^{2 x}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$20 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$20 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Bước 2.2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Bước 2.2.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Bước 2.2.3.7

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 20 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $20 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $20 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$20 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Bước 3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $e^{2 x}$ ở dạng ${(e^{x})}^{2}$ .

$20 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Bước 3.2.2

Giả sử $u = e^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x}$ .

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Bước 3.2.3

Đưa $4 u$ ra ngoài $20 u - 4 u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đưa $4 u$ ra ngoài $20 u$ .

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Bước 3.2.3.2

Đưa $4 u$ ra ngoài $- 4 u^{2}$ .

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Bước 3.2.3.3

Đưa $4 u$ ra ngoài $4 u (5) + 4 u (- u)$ .

$4 u (5 - u) = 0$

Bước 3.2.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x}$ .

$4 e^{x} (5 - e^{x}) = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x} = 0$

$5 - e^{x} = 0$

Bước 3.4

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 3.4.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 3.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 3.4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 3.5

Đặt $5 - e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $5 - e^{x}$ bằng với $0$ .

$5 - e^{x} = 0$

Bước 3.5.2

Giải $5 - e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- e^{x} = - 5$

Bước 3.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- e^{x} = - 5$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- e^{x} = - 5$ cho $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.2.2

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$e^{x} = \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.3.1

Chia $- 5$ cho $- 1$ .

$e^{x} = 5$

Bước 3.5.2.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Bước 3.5.2.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.4.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Bước 3.5.2.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Bước 3.5.2.4.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (5)$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 e^{x} (5 - e^{x}) = 0$ đúng.

$x = \ln (5)$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\ln (5)$ trong $f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\ln (5)$ trong biểu thức.

$f (\ln (5)) = 20 e^{\ln (5)} - e^{2 (\ln (5))}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (5)) = 20 \cdot 5 - e^{2 (\ln (5))}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $20$ với $5$ .

$f (\ln (5)) = 100 - e^{2 (\ln (5))}$

Bước 4.1.2.1.3

Rút gọn $2 (\ln (5))$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (\ln (5)) = 100 - e^{\ln (5^{2})}$

Bước 4.1.2.1.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (5)) = 100 - 5^{2}$

Bước 4.1.2.1.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\ln (5)) = 100 - 1 \cdot 25$

Bước 4.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $25$ .

$f (\ln (5)) = 100 - 25$

Bước 4.1.2.2

Trừ $25$ khỏi $100$ .

$f (\ln (5)) = 75$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $75$ .

$75$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\ln (5)$ trong $f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$ là $(\ln (5), 75)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\ln (5), 75)$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \ln (5)) \cup (\ln (5), \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \ln (5))$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.50943791$ trong biểu thức.

$f'' (1.50943791) = 20 e^{1.50943791} - 4 e^{2 (1.50943791)}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $2$ với $1.50943791$ .

$f'' (1.50943791) = 20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$

Bước 6.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$ .

$20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$

Bước 6.3

Tại $1.50943791$ , đạo hàm bậc hai là $8.61066649$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, \ln (5))$ .

Tăng trên $(- \infty, \ln (5))$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\ln (5), \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.70943791$ trong biểu thức.

$f'' (1.70943791) = 20 e^{1.70943791} - 4 e^{2 (1.70943791)}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $1.70943791$ .

$f'' (1.70943791) = 20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$

Bước 7.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$ .

$20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$

Bước 7.3

Tại $1.70943791$ , đạo hàm bậc hai là $- 11.623184$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(\ln (5), \infty)$

Giảm trên $(\ln (5), \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(\ln (5), 75)$ .

$(\ln (5), 75)$

Bước 9