Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $7 \sqrt{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 \sqrt{2} \cos (x)$ đối với $x$ là $7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$7 \sqrt{2} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $7$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

Bước 1.3.4

Nhân $2$ với $7$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 \sqrt{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 7 \sqrt{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ đối với $x$ là $- 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $14 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.3.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.3.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.3.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.3.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Bước 2.3.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Bước 2.3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Bước 2.3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) + 14 (- \sin^{2} (x))$

Bước 2.4.2

Nhân $- 1$ với $14$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) - 14 \sin^{2} (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

Bước 4

Đưa $7 \sin (x)$ ra ngoài $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $7 \sin (x)$ ra ngoài $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ .

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

Bước 4.2

Đưa $7 \sin (x)$ ra ngoài $14 \cos (x) \sin (x)$ .

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Bước 4.3

Đưa $7 \sin (x)$ ra ngoài $7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

Bước 6

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 6.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 6.2.5

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 7

Đặt $- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ bằng với $0$ .

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

Bước 7.2

Giải $- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $\sqrt{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 7.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Bước 7.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 7.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 7.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 7.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Bước 7.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 7.2.7

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$ đúng.

$x = 0, π, \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 7 \sqrt{2} \cos (0) + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Bước 10.1.2

Nhân $- 7$ với $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Bước 10.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1^{2} - 14 \sin^{2} (0)$

Bước 10.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (0)$

Bước 10.1.5

Nhân $14$ với $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

Bước 10.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

Bước 10.1.7

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

Bước 10.1.8

Nhân $- 14$ với $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 + 0$

Bước 10.2

Cộng $- 7 \sqrt{2}$ và $0$ .

$14 - 7 \sqrt{2}$

Bước 11

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cos (0) + 7 \sin^{2} (0)$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 7 \sin^{2} (0)$

Bước 12.2.1.2

Nhân $7$ với $1$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

Bước 12.2.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

Bước 12.2.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

Bước 12.2.1.5

Nhân $7$ với $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 0$

Bước 12.2.2

Cộng $7 \sqrt{2}$ và $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2}$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $7 \sqrt{2}$ .

$y = 7 \sqrt{2}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = π$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 7 \sqrt{2} \cos (π) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.4

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.5

$7 \sqrt{2} + 14 {(- \cos (0))}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.9

Nhân $14$ với $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (π)$

Bước 14.1.10

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

Bước 14.1.11

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

Bước 14.1.12

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

Bước 14.1.13

Nhân $- 14$ với $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 + 0$

Bước 14.2

Cộng $7 \sqrt{2}$ và $0$ .

$14 + 7 \sqrt{2}$

Bước 15

$x = π$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = π$ là cực tiểu địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $π$ trong biểu thức.

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cos (π) + 7 \sin^{2} (π)$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 7 \sin^{2} (π)$

Bước 16.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 7 \sin^{2} (π)$

Bước 16.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 7 \sin^{2} (π)$

Bước 16.2.1.4

Nhân $- 1$ với $7$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (π)$

Bước 16.2.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

Bước 16.2.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

Bước 16.2.1.7

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

Bước 16.2.1.8

Nhân $7$ với $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 0$

Bước 16.2.2

Cộng $- 7 \sqrt{2}$ và $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2}$

Bước 16.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 7 \sqrt{2}$ .

$y = - 7 \sqrt{2}$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.2

Nhân $- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.2.1

Kết hợp $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $- 7$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.2.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.2.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.3.5

Tính số mũ.

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.4

Nhân $- 7$ với $2$ .

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.5

Chia $- 14$ cho $2$ .

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.8

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.8.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.8.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.8.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.8.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.8.5

Tính số mũ.

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.10.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.10.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.10.4

Viết lại biểu thức.

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.11

Kết hợp $7$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.12

Nhân $7$ với $2$ .

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.13

Chia $14$ cho $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.14

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 18.1.15

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 18.1.16

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.16.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 18.1.16.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 18.1.16.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 18.1.16.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.16.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 18.1.16.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Bước 18.1.16.5

Tính số mũ.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

Bước 18.1.17

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

Bước 18.1.18

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 14$ .

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

Bước 18.1.18.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 18.1.18.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 18.1.18.4

Viết lại biểu thức.

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

Bước 18.1.19

Kết hợp $- 7$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

Bước 18.1.20

Nhân $- 7$ với $2$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

Bước 18.1.21

Chia $- 14$ cho $2$ .

$- 7 + 7 - 7$

Bước 18.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$0 - 7$

Bước 18.2.2

Trừ $7$ khỏi $0$ .

$- 7$

Bước 19

$x = \frac{π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 20

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.2

Nhân $7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.2.1

Kết hợp $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $7$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.2.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.2.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.3.5

Tính số mũ.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.4

Nhân $7$ với $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.5

Chia $14$ cho $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 20.2.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 20.2.1.8

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.8.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Bước 20.2.1.8.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Bước 20.2.1.8.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 20.2.1.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 20.2.1.8.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Bước 20.2.1.8.5

Tính số mũ.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Bước 20.2.1.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

Bước 20.2.1.10

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

Bước 20.2.1.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Bước 20.2.1.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Bước 20.2.1.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

Bước 20.2.1.11

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

Bước 20.2.2

Để viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Bước 20.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

Bước 20.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

Bước 20.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.5.1

Nhân $7$ với $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

Bước 20.2.5.2

Cộng $14$ và $7$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{21}{2}$

Bước 20.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{21}{2}$ .

$y = \frac{21}{2}$

Bước 21

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{7 π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.3

Nhân $- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.3.1

Kết hợp $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $- 7$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.3.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.3.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.4.5

Tính số mũ.

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.5

Nhân $- 7$ với $2$ .

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.6

Chia $- 14$ cho $2$ .

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.7

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.8

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.9

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.10

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.10.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.10.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.10.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.10.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.10.5

Tính số mũ.

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.12.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.12.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.12.4

Viết lại biểu thức.

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.13

Kết hợp $7$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.14

Nhân $7$ với $2$ .

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.15

Chia $14$ cho $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 22.1.16

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- 7 + 7 - 14 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

Bước 22.1.17

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 22.1.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.18.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Bước 22.1.18.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 22.1.19

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 22.1.20

Nhân $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 22.1.21

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.21.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 22.1.21.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 22.1.21.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 22.1.21.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.21.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 22.1.21.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Bước 22.1.21.5

Tính số mũ.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

Bước 22.1.22

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

Bước 22.1.23

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.23.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 14$ .

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

Bước 22.1.23.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 22.1.23.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 22.1.23.4

Viết lại biểu thức.

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

Bước 22.1.24

Kết hợp $- 7$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

Bước 22.1.25

Nhân $- 7$ với $2$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

Bước 22.1.26

Chia $- 14$ cho $2$ .

$- 7 + 7 - 7$

Bước 22.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$0 - 7$

Bước 22.2.2

Trừ $7$ khỏi $0$ .

$- 7$

Bước 23

$x = \frac{7 π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{7 π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 24

Tìm giá trị y khi $x = \frac{7 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{7 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.3

Nhân $7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.3.1

Kết hợp $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $7$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.3.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.3.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.4.5

Tính số mũ.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.5

Nhân $7$ với $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.6

Chia $14$ cho $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 24.2.1.7

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

Bước 24.2.1.8

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 24.2.1.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.9.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Bước 24.2.1.9.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Bước 24.2.1.10

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Bước 24.2.1.11

Nhân $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 24.2.1.12

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.12.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Bước 24.2.1.12.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Bước 24.2.1.12.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 24.2.1.12.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.12.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 24.2.1.12.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Bước 24.2.1.12.5

Tính số mũ.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Bước 24.2.1.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

Bước 24.2.1.14

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

Bước 24.2.1.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Bước 24.2.1.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Bước 24.2.1.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

Bước 24.2.1.15

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

Bước 24.2.2

Để viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Bước 24.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

Bước 24.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

Bước 24.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.5.1

Nhân $7$ với $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

Bước 24.2.5.2

Cộng $14$ và $7$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{21}{2}$

Bước 24.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{21}{2}$ .

$y = \frac{21}{2}$

Bước 25

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ .

$(0, 7 \sqrt{2})$ là một cực tiểu địa phương

$(π, - 7 \sqrt{2})$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{π}{4}, \frac{21}{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{7 π}{4}, \frac{21}{2})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 26