Giải tích Ví dụ

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $64$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $64 x^{2}$ đối với $x$ là $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $2$ với $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $128$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{128}{x}$ đối với $x$ là $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.1.3.4

Nhân $- 1$ với $128$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.1.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

Bước 1.1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Bước 1.1.1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.2.1

Kết hợp $- 128$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Bước 1.1.1.5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Bước 1.1.1.5.2.3

Cộng $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ và $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $128$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $128 x$ đối với $x$ là $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Bước 1.1.2.2.3

Nhân $128$ với $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Bước 1.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $- 128$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{128}{x^{2}}$ đối với $x$ là $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.1.2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Bước 1.1.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Bước 1.1.2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Bước 1.1.2.3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Bước 1.1.2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Bước 1.1.2.3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Bước 1.1.2.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Bước 1.1.2.3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Bước 1.1.2.3.10

Nhân $- 2$ với $- 128$ .

$128 + 256 x^{- 3}$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

Bước 1.1.2.4.2

Kết hợp $256$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

Bước 1.1.2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{256}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

Bước 1.2.2

Trừ $128$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

Bước 1.2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{3}, 1$

Bước 1.2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{3}$

Bước 1.2.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ với $x^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ với $x^{3}$ .

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$256 = - 128 x^{3}$

Bước 1.2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 128 x^{3} = 256$ .

$- 128 x^{3} = 256$

Bước 1.2.5.2

Trừ $256$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Bước 1.2.5.3

Đưa $- 128$ ra ngoài $- 128 x^{3} - 256$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.3.1

Đưa $- 128$ ra ngoài $- 128 x^{3}$ .

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Bước 1.2.5.3.2

Đưa $- 128$ ra ngoài $- 256$ .

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

Bước 1.2.5.3.3

Đưa $- 128$ ra ngoài $- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ .

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

Bước 1.2.5.4

Chia mỗi số hạng trong $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ cho $- 128$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ cho $- 128$ .

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Bước 1.2.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 128$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Bước 1.2.5.4.2.1.2

Chia $x^{3} + 2$ cho $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

Bước 1.2.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.3.1

Chia $0$ cho $- 128$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Bước 1.2.5.5

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} = - 2$

Bước 1.2.5.6

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Bước 1.2.5.7

Rút gọn $\sqrt[3]{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.7.1

Viết lại $- 2$ ở dạng ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.7.1.1

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Bước 1.2.5.7.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Bước 1.2.5.7.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Bước 1.2.5.7.3

Viết lại $- 1 \sqrt[3]{2}$ ở dạng $- \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \sqrt[3]{2}$

Bước 2

Tìm tập xác định của $f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt mẫu số trong $\frac{128}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 2.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

Bước 4.2.1.2

Chia $256$ cho $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

Bước 4.2.2

Cộng $- 4$ và $128$ .

$f'' (- 4) = 124$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $124$ .

$124$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ vì $f'' (- 4)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

Bước 5.2.1.2

Chia $256$ cho $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

Bước 5.2.2

Cộng $- 256$ và $128$ .

$f'' (- 1) = - 128$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 128$ .

$- 128$

Bước 5.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ vì $f'' (- 1)$ âm.

Lồi trên $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

Bước 6.2.1.2

Chia $256$ cho $8$ .

$f'' (2) = 32 + 128$

Bước 6.2.2

Cộng $32$ và $128$ .

$f'' (2) = 160$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $160$ .

$160$

Bước 6.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(0, \infty)$ vì $f'' (2)$ dương.

Lõm trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 8