Giải tích Ví dụ

$h (w) = \frac{4 w^{3} - w}{w}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ là $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ trong đó $f (w) = 4 w^{3} - w$ và $g (w) = w$ .

$\frac{w \frac{d}{d w} [4 w^{3} - w] - (4 w^{3} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 w^{3} - w$ đối với $w$ là $\frac{d}{d w} [4 w^{3}] + \frac{d}{d w} [- w]$ .

$\frac{w (\frac{d}{d w} [4 w^{3}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (4 w^{3} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d w} [4 w^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $4 w^{3}$ đối với $w$ là $4 \frac{d}{d w} [w^{3}]$ .

$\frac{w (4 \frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (4 w^{3} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{w (4 (3 w^{2}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (4 w^{3} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{w (12 w^{2} + \frac{d}{d w} [- w]) - (4 w^{3} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d w} [- w]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $- w$ đối với $w$ là $- \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{w (12 w^{2} - \frac{d}{d w} [w]) - (4 w^{3} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{w (12 w^{2} - 1 \cdot 1) - (4 w^{3} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{w (12 w^{2} - 1) - (4 w^{3} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{w (12 w^{2} - 1) - (4 w^{3} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{w (12 w^{2}) + w \cdot - 1 - (4 w^{3} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{w (12 w^{2}) + w \cdot - 1 + (- (4 w^{3}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{w (12 w^{2}) + w \cdot - 1 - (4 w^{3}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{12 w \cdot w^{2} + w \cdot - 1 - (4 w^{3}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.2

Nhân $w$ với $w^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.2.1

Di chuyển $w^{2}$ .

$\frac{12 (w^{2} w) + w \cdot - 1 - (4 w^{3}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.2.2

Nhân $w^{2}$ với $w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.2.2.1

Nâng $w$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{12 (w^{2} w^{1}) + w \cdot - 1 - (4 w^{3}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{12 w^{2 + 1} + w \cdot - 1 - (4 w^{3}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{12 w^{3} + w \cdot - 1 - (4 w^{3}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $w$ .

$\frac{12 w^{3} - 1 \cdot w - (4 w^{3}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.4

Viết lại $- 1 w$ ở dạng $- w$ .

$\frac{12 w^{3} - w - (4 w^{3}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.5

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{12 w^{3} - w - 4 w^{3} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.6

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{12 w^{3} - w - 4 w^{3} - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.7

Nhân $- - w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{12 w^{3} - w - 4 w^{3} + 1 w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.7.2

Nhân $w$ với $1$ .

$\frac{12 w^{3} - w - 4 w^{3} + w \cdot 1}{w^{2}}$

Bước 6.4.1.8

Nhân $w$ với $1$ .

$\frac{12 w^{3} - w - 4 w^{3} + w}{w^{2}}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $12 w^{3} - w - 4 w^{3} + w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Cộng $- w$ và $w$ .

$\frac{12 w^{3} - 4 w^{3} + 0}{w^{2}}$

Bước 6.4.2.2

Cộng $12 w^{3} - 4 w^{3}$ và $0$ .

$\frac{12 w^{3} - 4 w^{3}}{w^{2}}$

Bước 6.4.3

Trừ $4 w^{3}$ khỏi $12 w^{3}$ .

$\frac{8 w^{3}}{w^{2}}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung của $w^{3}$ và $w^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $w^{2}$ ra ngoài $8 w^{3}$ .

$\frac{w^{2} (8 w)}{w^{2}}$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{w^{2} (8 w)}{w^{2} \cdot 1}$

Bước 6.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{w^{2} (8 w)}{w^{2} \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8 w}{1}$

Bước 6.5.2.4

Chia $8 w$ cho $1$ .

$8 w$