Giải tích Ví dụ

$q = \tan (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ là $f' (g (q)) g' (q)$ trong đó $f (q) = \tan (q)$ và $g (q) = \frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Bước 2

Nhân $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ với $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}} \cdot \frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}]$

Bước 3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ với $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8} \sqrt{t + 8}}]$

Bước 3.2

Nâng $\sqrt{t + 8}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} \sqrt{t + 8}}]$

Bước 3.3

Nâng $\sqrt{t + 8}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} {\sqrt{t + 8}}^{1}}]$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1 + 1}}]$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{2}}]$

Bước 3.6

Viết lại ${\sqrt{t + 8}}^{2}$ ở dạng $t + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t + 8}$ ở dạng ${(t + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{({(t + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

Bước 3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}]$

Bước 3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

Bước 3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

Bước 3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{1}}]$

Bước 3.6.5

Rút gọn.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}]$

Bước 4

Vì $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ là hằng số đối với $q$ , đạo hàm của $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ đối với $q$ là $0$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \cdot 0$

Bước 5

Nhân $\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$ với $0$ .

$0$